Mini-batch 梯度下降

在以前的训练中， 我们总是将所有的数据一次性加入算法进行计算。 这回导致计算缓慢。
我们可以将训练集分割成不同的小份， 例如每份 1000 个，这样不仅可以加快运算速度， 并且每次mini-batch 计算完成都能对权重进行更新。

Mini-batch 与 batch 损失函数走势区别

当使用 batch 直接训练时, 可以看到损失函数是稳步下降的, 但是使用 mini-batch 时, 可能因为每步使用的数据集的数据差异, 导致很多噪声, 但是总体是向下的趋势的

选择你的 Mini-batch Size

• 与样本数量相同: 这就与普通的 batch 没什么不同, 会稳步往中心点下降
• 指定成 1 : 相当于随机梯度下降, 会出现有时下降有时上升, 趋势是往中心去的, 但是不会收敛, 而且也失去了向量化计算带来的优势
• 选择 1 到 m 之间的数: 兼顾了两者, 但是也像随机梯度下降一样, 接近中心但是可能会出现不收敛, 这时候可以使用衰减学习率来进行
  

如何选择 batch size 呢

• 如果训练集过小(小于 2000): 直接使用batch
• 通常来说将 mini batch 设置成 64 ~ 512(一般是2的次方), 也需要注意内存是否能够承载

指数加权平均(exponentially weight averages)

可以用来平滑时间序列数据, 减少噪声和浮动
具体做法是使用一个权重 $\beta$
套入公式: $V_{t} = \beta V_{t-1} + (1 - \beta) \theta_{t}$
相当于过去多少天的平均: $\frac{1}{1- \beta}$

理解指数加权平均

$$V_{100} = 0.9 V_{99} + 0.1 \theta_{100}$$ $$V_{99} = 0.9 V_{98} + 0.1 \theta_{99}$$ $$V_{98} = 0.9 V_{97} + 0.1 \theta_{98}$$

可以展开为

$$V_{100} = 0.9 V_{99} + 0.1 \theta_{100} \ = 0.1 * \theta_{100} + 0.1 * 0.9 * \theta_{99} + 0.1 * 0.9^{2} * \theta_{99}$$

相当于一个对之前时间的数值进行不断缩减, 直到占比小于 1 / 3 ( 有点疑惑 为什么是 1/3)

使用指数加权平均的优势是不需要保存所需平均天数的所有值, 节约内存和减少计算量, 只需要一个最新值. 这也是导致不精确的原因.

偏差修正(bias correction)

还是看我们之前的那张图, 如果使用 $V_{0} = 0$ 实际上并不会得到绿色的线, 而是紫色的线.

所以使用偏差修正公式

$$\frac{V_{t}}{ 1 - \beta^{t}}$$ $$t = 2 : 1 - \beta^{t} = 1 - 0.98^{2} = 0.0396$$ $$\frac{V_{2}}{ 0.0396 } = \frac{ 0.0196 \cdot \theta_{1} + 0.02 \cdot \theta_{2}}{ 0.0396 }$$

可以修复的你的强迫症, 也可以不修. 因为假设使用0.9 十次迭代之后值就已经变得不重要了

动量梯度下降

就是将 指数加权平均 与用到 w b 的导数更新中, 减缓下降时候的摆动噪声

超参的 $\beta$ 一般是选择 0.9

RMSprop (root mean square prop)

也是为了 减缓下降时候的摆动噪声, 为了区分 动量梯度下降 中的 $\beta$ 这边使用 $\beta_{2}$
为了防止分母变成 0 需要上 $\xi$ 通常的值是 $10^{-8}$

Adam (Adaptive Moment Estimation: Moment + RMSprop)

结合了之前的两者

$$V_{dw} = 0, S_{dw} = 0, V_{db} = 0, S_{db} = 0$$ $$V_{dw} = \beta_{1} \cdot V_{dw} + ( 1 - \beta_{1} ) \cdot d_{w} \qquad V_{db} = \beta_{1} \cdot V_{db} + ( 1 - \beta_{1} ) \cdot d_{b} \rightarrow Moment 的 \beta_{1}$$ $$S_{dw} = \beta_{2} \cdot S_{dw} + ( 1 - \beta_{2} ) \cdot d_{w}^{2} \qquad S_{db} = \beta_{2} \cdot S_{db} + ( 1 - \beta_{2} ) \cdot d_{b}^{2} \rightarrow RMSprop 的 \beta_{2}$$ $$V_{dw}^{current} = \frac{V_{dw}}{1 - \beta_{1}^{t}} \qquad V_{db}^{current} = \frac{V_{db}}{1 - \beta_{1}^{t}}$$ $$S_{dw}^{current} = \frac{S_{dw}}{1 - \beta_{2}^{t}} \qquad S_{db}^{current} = \frac{S_{db}}{1 - \beta_{2}^{t}}$$ $$W := W - \alpha \frac{V_{dw}^{current}}{\sqrt{ S_{dw}^{current}} + \xi } \qquad b:= b - \alpha \frac{V_{db}^{current}}{\sqrt{ S_{db}^{current}} + \xi }$$

这里面有几个超参可以调整, 但是一般都是使用默认值:

• $ \alpha $: 需要自己调
• $ \beta_{1} $: 一般默认 0.9
• $ \beta_{2} $: 一般默认 0.999
• $ \xi $: 一般默认 $ 10^{-8} $

学习率衰减

因为使用mini-batch 进行训练时, 并不会精确的收敛, 而是会在最小值附近摆动. 因为学习率是固定的值.
而使用衰减二点学习率, 训练的最初阶段还是会快速下降, 但是在接近最小值时, 与固定学习率在大范围摆动不同, 将会在最小值的周围区域小幅度摆动.
因为在开始训练初期你能够接受大范围的摆动,但是接近时需要较小的调整幅度.
有以下集中可供选择:

• $ \alpha = \frac{1}{1 + deacy-rate \cdot epoch-num} \alpha_{0} $
• $ \alpha = 0.95^{epoch-num} \alpha_{0} $
• $ \alpha = \frac{k}{ \sqrt{epoch-num} } \alpha_{0} $
• 还有离散和手动的方式

局部最优的问题

我们在优化过程中可能并不是会到局部最优点, 而可能是鞍点.
因为假设你的参数是有 2W 个, 而你达到一个局部最优点的可能性是 1/2W 所以你更可能遇到的是鞍点

而平稳段则是影响你学习的一个重要因素, 此处的导数可能长时间为 0 , 导致你无法前进